A correspondência Curry–Howard é uma observação profunda na ciência da computação e na lógica matemática que estabelece uma relação direta entre sistemas formais de prova e sistemas de programação. Em resumo, a correspondência afirma que:
- Provas lógicas correspondem a programas computacionais.
- Fórmulas lógicas correspondem a tipos.
Dessa forma, a construção de uma prova para uma fórmula lógica pode ser vista como a construção de um programa com um tipo correspondente.
Origem e Contexto
A correspondência recebeu esse nome em homenagem a Haskell Curry e William Howard, que trabalharam separadamente para estabelecer as relações entre a lógica proposicional e os sistemas de programação.
- Haskell Curry: Explorou a relação entre sistemas formais e funções.
- William Howard: Formalizou a relação entre provas lógicas e tipos em sistemas de programação em seu artigo de 1969.
A ideia ganhou notoriedade quando foi aplicada à lógica intuicionista, especialmente com o sistema de tipos no âmbito da programação funcional.
Intuição por Trás da Correspondência
- Fórmulas lógicas: Representam especificações ou restrições.
- Provas: Representam construções que demonstram a validade das especificações.
- Programas: São implementações dessas construções.
- Tipos: Garantem que os programas seguem as especificações.
Por exemplo, no contexto de programação funcional, um programa que tem o tipo A -> B pode ser visto como uma prova de que, dada uma entrada do tipo A, é possível produzir um valor do tipo B.
Exemplos na Prática
1. Lógica Simples: Implicação
Na lógica, a implicação A → B significa que, se A é verdadeiro, então B também é verdadeiro.
No sistema de tipos, isso corresponde a um programa que recebe um valor do tipo A e retorna um valor do tipo B. Esse programa pode ser representado em uma linguagem funcional como Haskell:
implicacao :: (A -> B) -> A -> B
implicacao f x = f x
Aqui, a função implicacao demonstra como transformar um valor de A em um valor de B usando uma função fornecida.
2. Lógica Conjuntiva: “E” Lógico
Na lógica, a conjunção A ∧ B significa que tanto A quanto B são verdadeiros.
No sistema de tipos, isso corresponde a um par de valores, um do tipo A e outro do tipo B.
Em Haskell, podemos representar isso com tuplas:
conjuncao :: (A, B)
conjuncao = (valorA, valorB)
3. Lógica Disjuntiva: “Ou” Lógico
Na lógica, a disjunção A ∨ B significa que pelo menos um dos valores, A ou B, é verdadeiro.
No sistema de tipos, isso corresponde a um tipo soma, ou seja, um valor que pode ser de um tipo ou de outro.
Em Haskell, usamos Either para representar isso:
disjuncao :: Either A B
disjuncao = Left valorA -- Ou Right valorB
Benefícios da Correspondência Curry–Howard
- Segurança de tipos: Garantir que um programa está correto equivale a provar uma fórmula lógica.
- Raciocínio formal: Programadores podem raciocinar sobre código como se fossem matemáticos raciocinando sobre provas.
- Ferramentas de verificação: Sistemas como Coq e Agda permitem criar provas e extrair código diretamente delas.
A correspondência Curry–Howard é um conceito poderoso que unifica a lógica e a programação, permitindo uma compreensão mais profunda de como projetamos e verificamos software. Usando exemplos concretos e ferramentas modernas, é possível aplicar esses princípios para escrever códigos mais seguros e confiáveis.
Com essa visão, podemos apreciar como as linguagens de programação modernas são profundamente influenciadas pela teoria dos tipos e pela lógica matemática.
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Fontes:
- http://wadler.blogspot.com/2014/08/howard-on-curry-howard.html
- https://web.archive.org/web/20080819185521/http://www.thenewsh.com/~newsham/formal/curryhoward/
- http://www.haskell.org/wikiupload/1/14/TMR-Issue6.pdf
- https://books.google.com/books?id=TLHfQPHNs0QC
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